高等数学基础:定积分的定义与性质

定积分定义

设函数$f(x)$定义在$[a,b]$上,若对$[a,b]$的任一种分法$a=x_0<x_1<x_2<···<x_n=b$,令$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$,任取$\xi_i \in [x_i,x_{i-1}]$,只要$\lambda = \max_{1≤i≤n}\{\Delta x_i\} \to 0$时$\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$总趋于确定的极限$I$,则称此极限$I$为函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分,记作$\int_a^b f(x)dx$,即

高等数学基础:偏导数与方向导数

多元函数偏导数

在一个多变量的函数中,偏导数就是关于其中一个变量的导数而保持其它变量恒定不变。假定二元函数$z=f(x,y)$,点$(x_0,y_0)$是其定义域内的一个点,将$y$固定在$y_0$上,而$x$在$x_0$上增量$\Delta x$,相应的函数$z$有增量$\Delta z = f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)$。$\Delta z$和$\Delta x$的比值当$\Delta x$的值趋近于$0$的时候,如果极限存在,那么此极限值称为函数$z = f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数(partial derivative),记作:$f’_x(x_0,y_0)$

高等数学基础:导数的应用2:泰勒Taylor公式

Taylor公式

Taylor(泰勒)公式

Taylor(泰勒)公式是用一个函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下,Taylor公式可以利用这些导数值来做系数构建一个多项式近似函数在这一点的邻域中的值。

高中数学基础:数列的极限及其准则

数列极限的定义

设$\{x_n\}$为一数列,若有常数$a$,对任意给定的正数$\varepsilon$(无论$\varepsilon$有多小),总存在正整数$N$,使当$n>N$时,不等式$|x_n-a|<\varepsilon$恒成立,则称$a$是数列$\{x_n\}$的极限或称$\{x_n\}$收敛于$a$,记为

高中数学基础:随机变量及其分布

基本概念

若随机变量$X$服从一个数学期望为$μ$、方差为$σ^2$的正态分布,记为$N(μ,σ^2)$。其概率密度函数为正态分布的期望值$μ$决定了其位置,其标准差$σ$决定了分布的幅度。当$μ = 0, σ = 1$时的正态分布是标准正态分布。


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