高中数学基础:直线与点、圆与方程

直线与点

1、一般式
2、点斜式
3、斜截式
4、截距式
5、两点式

两条直线平行、相交、重合、垂直的充分必要条件

对于直线

$l_1:y=k_1x+b_1, , l_2:y=k_2x+b_2$,有:

(1)$l_1 // l_2 \Leftrightarrow \left \{ \begin{array} {c} k_1 = k_2 \ b_1 ≠ b_2 \end{array} \right. $

(2)$l_1$ 和 $l_2$ 相交 $\Leftrightarrow k_1 ≠ k_2$

(3)$l_1$ 和 $l_2$ 重合 $\Leftrightarrow \left \{ \begin{array} {c} k_1 = k_2 \ b_1 = b_2 \end{array} \right. $

(4)$l_1 \bot l_2 \Leftrightarrow k_1k_2 = -1$

对于直线

$\left. \begin{array} {c} A_1x + B_1y + C_1 = 0 \ A_2x + B_2y + C_2 = 0 \end{array} \right. $,有

(1)$l_1 // l_2 \Leftrightarrow \left \{ \begin{array} {c} A_1B_2 = A_2B_1 \ B_1C_2 ≠ B_2C_1 \end{array} \right. $

(2)$l_1$ 和 $l_2$ 相交 $\Leftrightarrow A_1B_2 ≠ A_2B_1$

(3)$l_1$ 和 $l_2$ 重合 $\Leftrightarrow \left \{ \begin{array} {c} A_1B_2 = A_2B_1 \ B_1C_2 = B_2C_1 \end{array} \right. $

(4)$l_1 \bot l_2 \Leftrightarrow A_1A_2 + B_1B_2 = 0$

两点间距离公式

点$(x_1, y_1)$与点$(x_2, y_2)$间距离:

$$
d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}
$$

点到直线的距离公式

设点$P(x_0, y_0)$,直线$ax+by+c=0$,点到直线的距离为

$$
|PQ| = \frac{|ax_0+by_0+c|\sqrt{a^2+b^2}}{|ab|}
$$

两平行线间的距离公式

设平面上两条直线方程为$Ax+By+C_1=0$,$Ax+By+C_2=0$,则其距离公式

$$
d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{(A^2+B^2)}}
$$

圆与方程

圆的方程

(1)标准方程

$$
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
$$

其中圆心为$(a, b)$,半径为$r$

(2)一般方程

$$
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
$$

其中圆心为$(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$,半径为$r=\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}$

直线与圆的位置关系

直线$Ax+By+C=0$与圆$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$的位置关系有三种:

$d=|O_1O_2|$

(1) 相离:$d>r$
(2) 相切:$d=r$
(3) 相交:$d<r$

两圆位置关系

$d=|O_1O_2|$

(1) 外离:$d>R+r$
(2) 外切:$d=R+r$
(3) 相交:$R-r<d<R+r$
(4) 内切:$d=R-r$
(5) 内含:$d<R-r$