高中数学基础:数列与不等式

数列

等差数列

(1)通项公式

$$
a_n=a_1+(n-1)d
$$

(2)前n项和公式

$$
S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}
$$

(3)常用性质

① 若$m+n=p+q , (m,n,p,q \in N_+)$,则$a_m+a_n=a_p+a_q$;
② 下标为等差数列的项$(a_k,a_{k+m},a_{k+2m},···)$,仍组成等差数列;
③ 数列$\{\lambda a_n+b\}$ ($\lambda,b$为常数)仍为等差数列;
④ 若$\{a_n\}$、$\{b_n\}$是等差数列,则$\{ka_n\}$、$\{ka_n+pb_n\}$($k$、$p$是非零常数)、$\{a_{p+nq}\}$ $(p,q \in N^*)···$ 也是等差数列;
⑤ 单调性:$\{a_n\}$的公差为$d$,则:

  1. $d>0 \Leftrightarrow \{a_n\}$为递增数列;
  2. $d<0 \Leftrightarrow \{a_n\}$为递减数列;
  3. $d=0 \Leftrightarrow \{a_n\}$为常数列;
    ⑥ 若数列$\{a_n\}$为等差数列$\Leftrightarrow a_n=pn+q$ ($p,q$是常数)
    ⑦ 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$,则$S_k$、$S_{2k}-S_k$、$S_{3k}-S_{2k}···$是等差数列。

等比数列

(1)通项公式

$$
a_n=a_1q^{n-1} ,, (q≠1)
$$

(2)前n项和公式

$$
S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}
$$

(3)常用性质

① 若$m+n=p+q , (m,n,p,q \in N_+)$,则$a_m·a_n=a_p·a_q$;
② $(a_k,a_{k+m},a_{k+2m},···)$为等比数列,公比为$q^k$(下标成等差数列,则对应的项成等比数列);
③ 数列$\{\lambda a_n\}$($\lambda$为不等于零的常数)仍是公比为$q$的等比数列;若有正项等比数列$\{a_n\}$,则$\{\operatorname{log}a_n \}$是公差为$\operatorname{log}(q)$的等差数列;
④ 若$\{a_n\}$是等比数列,则$\{ka_n\}$、$\{a_n^2\}$、$\{\frac{1}{a_n}\}$、$\{a_n^r\}(r \in Z)$也是等差数列,公比依次是$q,q^2,\frac{1}{q},q^r$;
⑤ 单调性:$\{a_n\}$的公比为$q$,则:

  1. $a_1 > 0, q > 1$或$a_1 < 0, 0 < q < 1 \Rightarrow \{a_n\}$为递增数列;
  2. $a_1 > 0, 0 < q < 1$或$a_1 < 0, q >1 \Rightarrow \{a_n\}$为递减数列;
  3. $q=1 \Rightarrow \{a_n\}$为常数列;
  4. $q<0 \Rightarrow \{a_n\}$为摆动数列;
    ⑥ 既是等差数列又是等比数列的数列是常数列;
    ⑦ 若等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$,则$S_k$、$S_{2k}-S_k$、$S_{3k}-S_{2k}$···是等比数列。

不等式

不等关系与不等式

① 对称性 $a > b \Rightarrow b < a$
② 传递性 $a > b, b > c \Rightarrow a > c$
③ 可加性 $a > b \Rightarrow a+c > b+c$
     同向可加性 $a > b, c > d \Rightarrow a+c > b+d$
     异向可减性 $a > b, c < d \Rightarrow a-c > b-d$
④ 可积性 $a > b, c > 0 \Rightarrow ac > bc$
                 $a > b, c < 0 \Rightarrow ac < bc$
⑤ 同向正数可乘性 $a > b > 0,c > d > 0 \Rightarrow ac>bd$
     异向正数可除性 $a > b > 0,0 < c < d \Rightarrow \frac{a}{c} > \frac{b}{d}$
⑥ 平方法则 $a > b >0 \Rightarrow a^n > b^n , (n \in N,且n>1)$
⑦ 开方法则 $a > b >0 \Rightarrow \sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b} , (n \in N,且n>1)$
⑧ 倒数法则 $a > b >0 \Rightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b} ;, a < b < 0 \Rightarrow \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

不等式证明的几种常用方法

常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;
其他方法有:换元法、反证法、缩放法、构造法、函数单调性法、数学归纳法等