高中数学基础:平面向量

平面向量基本概念

1、向量:既有大小,又有方向的量叫做向量,如力、位移等
2、数量:只有大小,没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等

零向量:长度为0的向量
单位向量:长度为1个单位的向量

有向线段表示:$\overrightarrow{AB}$
有向线段长度:$|\overrightarrow{AB}|$

相等向量及平行向量

(1)相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。记为${\bf {a}}={\bf {b}}$。

任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关。在平面上,两个长度相等且方向一致的有向线段表示同一个向量。

(2)平行向量

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。记为${\bf {a}}//{\bf {b}}$。

规定零向量与任何向量都平行。

任一祖平行向量都可以平移到同一直线上,因此平行向量也叫共线向量。

向量运算

向量加法

设${\bf {a}}=\overrightarrow{AB}$,${\bf {b}}=\overrightarrow{BC}$,则

${\bf {a}} + {\bf {b}} = \overrightarrow{AC}$

(1)${\bf {a}} + {\bf {b}} = {\bf {b}} + {\bf {a}}$
(2)$|{\bf {a}} + {\bf {b}}| ≤ |{\bf {a}}| + |{\bf {b}}| $

向量减法

设${\bf {a}}=\overrightarrow{OA}$,${\bf {b}}=\overrightarrow{OB}$,则

${\bf {a}} - {\bf {b}} = \overrightarrow{BA}$

只需记住:连接两向量的终点,箭头指向被减向量

(1)${\bf {a}} - {\bf {b}} = - {\bf {b}} + {\bf {a}}$
(2)$|{\bf {a}} - {\bf {b}}| ≤ |{\bf {a}}| + |{\bf {b}}| $

向量乘法

设实数$\lambda$和向量${\bf {a}}$,则向量的数乘记作$\lambda{\bf {a}}$

(1)长度$|\lambda{\bf {a}}| = |\lambda||{\bf {a}}|$
(2)对任意非零向量${\bf {a}}$,向量$\frac{\bf {a}}{|{\bf {a}}|}$是与向量${\bf {a}}$同向的单位向量
(3)$\lambda{\bf {a}}$的几何意义就是将向量${\bf {a}}$沿着${\bf {a}}$的方向或反方向扩大或缩小$|\lambda|$倍

向量数乘的运算律

设$\lambda$、$\mu$为实数,则

(1)$\lambda(\mu{\bf {a}}) = (\lambda\mu){\bf {a}}$
(2)$(\lambda+\mu){\bf {a}} = \lambda{\bf {a}} + \mu{\bf {a}}$
(3)$(\lambda-\mu){\bf {a}} = \lambda{\bf {a}} - \mu{\bf {a}}$
(4)$\lambda({\bf {a}} + {\bf {b}}) = \lambda{\bf {a}} + \lambda{\bf {b}}$
(5)$\lambda({\bf {a}} - {\bf {b}}) = \lambda{\bf {a}} - \lambda{\bf {b}}$
(6)$(-\lambda){\bf {a}} = -(\lambda{\bf {a}}) = \lambda(-{\bf {a}})$

向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,对于任意向量${\bf {a}}$,${\bf {b}}$以及任意实数$\lambda$,$\mu_1$,$\mu_2$,恒有

$\lambda(\mu_1{\bf {a}}+\mu_2{\bf {b}}) = \lambda\mu_1{\bf {a}} + \lambda\mu_2{\bf {b}}$

两个向量数量积的坐标表示

数量积的坐标形式:设${\bf {a}}=(x_1, y_1)$,${\bf {b}}=(x_2, y_2)$,则${\bf {a}}·{\bf {b}}=x_1x_2+y_1y_2$

数量积坐标形式的推导:取与$x$轴、$y$轴分别同向的两个单位向量${\bf {i}}$、${\bf {j}}$,则${\bf {a}}=(x_1, y_1)=x_1{\bf {i}}+y_1{\bf {j}}$,${\bf {b}}=(x_2, y_2)=x_2{\bf {i}}+y_2{\bf {j}}$。由数量积的定义可知:${\bf {i}}·{\bf {i}}=1$,${\bf {j}}·{\bf {j}}=1$,${\bf {i}}·{\bf {j}}=0$,${\bf {j}}·{\bf {i}}=0$,所以

${\bf {a}}·{\bf {b}}=(x_1{\bf {i}}+y_1{\bf {j}})(x_2{\bf {i}}+y_2{\bf {j}})=x_1x_2{\bf {i}}·{\bf {i}}+x_1y_2{\bf {i}}·{\bf {j}}+x_2y_1{\bf {j}}·{\bf {i}}+y_1y_2{\bf {j}}·{\bf {j}}=x_1x_2+y_1y_2$

即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。

向量的模与垂直关系的坐标表示

设${\bf {a}}=(x, y)$,有$|{\bf {a}}|=\sqrt{x^2+y^2}$

向量垂直的坐标表示:由向量数量积的定义,${\bf {a}}·{\bf {b}}=|{\bf {a}}||{\bf {b}}|\cos \theta·=x_1x_2+y_1y_2$

${\bf {a}} \bot {\bf {b}} \Longleftrightarrow {\bf {a}}·{\bf {b}} = 0(|{\bf {a}}|·|{\bf {b}}|≠0) \Longleftrightarrow x_1x_2+y_1y_2 = 0$

向量夹角的坐标表示

设${\bf {a}}=(x_1, y_1)$,${\bf {b}}=(x_2, y_2)$,$\theta$是${\bf {a}}$与${\bf {b}}$的夹角,由数量积的定义

$${\bf {a}}·{\bf {b}} = |{\bf {a}}|·|{\bf {b}}|\cos \theta$$

$$\cos \theta = \frac{ {\bf {a}}·{\bf {b}} }{|{\bf {a}}|·|{\bf {b}}|} = \frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$$

利用此公式,可直接求出两向量的夹角

证明:

设${\bf {c}} = {\bf {a}} - {\bf {b}}$,则

${\bf {c}}^2 = ({\bf {a}} - {\bf {b}})^2$

$|{\bf {c}}|^2 = |{\bf {a}}|^2 + |{\bf {b}}|^2 - 2{\bf {a}}·{\bf {b}}$

又 $|{\bf {c}}|^2 = |{\bf {a}}|^2 + |{\bf {b}}|^2 - 2|{\bf {a}}||{\bf {b}}|\cos \theta$ (三角余弦定理)

即:${\bf {a}}·{\bf {b}} = |{\bf {a}}||{\bf {b}}|\cos \theta$

三角余弦定理

$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos ∠ACB = a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta
$$

特别地,当$∠ACB=90^。$,即勾股定理

证明:

$c = b \cos \alpha + a \cos \beta \Longleftrightarrow c^2 = bc \cos \alpha + ac \cos \beta$,同理

$
\left \{
\begin{array} {c}
a^2 = ab \cos \gamma + ac \cos \beta \
b^2 = ab \cos \gamma + bc \cos \alpha
\end{array}
\right.
$

即:$a^2 + b^2 = 2ab \cos \gamma + ac \cos \beta + bc \cos \alpha = c^2 + 2ab \cos \gamma$