高中数学基础:二项分布与二项式定理

独立重复试验

独立重复试验的基本特征:
1、每次试验是在同样条件下进行
2、每次试验都是只有两种结果:发生与不发生
3、各次试验中的事件是相互独立的
4、每次试验,某事件发生的概率是相同的

二项分布

在$n$次独立重复试验中,设事件$A$发生的次数是$X$,且在每次试验中事件$A$发生的概率是$p$,那么事件$A$恰好发生$k$次的概率为

$P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}, , k=0,1,2,..,n$

$X$ 0 1 $···$ $k$ $···$ $n$
$P$ $C_n^0p^0(1-p)^n$ $C_n^1p^1(1-p)^{n-1}$ $···$ $C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$ ··· $C_n^np^n(1-p)^0$

称随机变量$X$服从二项分布,记作

$X \sim B(n,p)$,其中$p$为成功概率。

二项式定理

$$
\sum_{k=0}^nC_n^kp^k(1-p)^{n-k}=(p+q)^n=1, , (q=1-p)
$$

二项分布示例

设一射手平均每射击10次中靶4次,求在五次射击中,① 击中一次,② 第二次击中,③ 击中两次,④ 第二、三两次击中,⑤ 至少击中一次的概率。

由题设,此射手射击1次,中靶的概率为$0.4$

① $n=5, k=1$,应用公式得

$P(X=1)=C_5^1p(1-p)^4=0.2592$

② 事件“第二次击中”表示第一、三、四、五次击中或击不中都可,它不同于“击中一次”,也不同于“第二次击中,其他各次都不中”,不能用公式。它的概率就是0.4。

③ $n=5, k=2$,应用公式得

$P(X=2)=C_5^2p(1-p)^3=0.3456$

④ “第二、三两次击中”表示第一次、第四次及第五次可中可不中,所以概率为$0.4×0.4=0.16$。

⑤ 设“至少击中一次”为事件$B$,则$B$包括“击中一次”,“击中两次”,“击中三次”,“击中四次”,“击中五次”,所以概率为

$P(B)=P_5(1)+P_5(2)+P_5(3)+P_5(4)+P_5(5)=1-P_5(0)=0.92224$

二项分布与两点分布的关系

例:篮球比赛中每次罚球命中得1分,不中得0分,某篮球运动员的罚球命中率为0.7,在某次比赛中他一共罚球20次,则

(1)一次罚球的得分服从两点分布
(2)命中次数$X$服从二项分布,即$X \sim B(20,0.7)$

即两点分布是特殊的二项分布$X \sim B(1,p)$

二项分布与超几何分布的关系

例:一个袋中放有$M$个红球,$(N-M)$个白球,依次从袋中取$n$个球,记下红球的个数$X$

(1)如果是有放回地取,则$X$服从二项分布

$$
X \sim B(n,\frac{M}{N})
$$

(2)如果是不放回地取,则$X$服从超几何分布

$$
P(X=k)=\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n} , (k=0,1,2,···,m)
$$

其中$m=min(M,n)$

伯努利分布

伯努利分布(Bernoulli distribution)又名两点分布或$0-1$分布,介绍伯努利分布前首先需要引入伯努利试验(Bernoulli trial)。

伯努利试验是只有两种可能结果的单次随机试验,即对于一个随机变量$X$而言:伯努利试验都可以表达为“是与否”的问题。

例如,抛一次硬币是正面向上吗?刚出生的小孩是个女孩吗等等。如果试验$E$是一个伯努利试验,将$E$独立重复地进行$n$次,则称这一串重复的独立试验为$n$重伯努利试验。进行一次伯努利试验,成功$(X=1)$概率为$p(0≤p≤1)$,失败$(X=0)$概率为$1-p$,则称随机变量$X$服从伯努利分布。伯努利分布式离散型概率分布。

二项定理

(1)二项展开公式

$$
(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+···+C_n^ra^{n-r}b^r+···+C_n^nb^n , (n \in N)
$$

(2)项的系数与二项式系数

项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1时,系数就是二项式系数。如在$(ax+b)^n$的展开式中,第$(r+1)$项的二项式系数为$C_n^r$,第$(r+1)$项的系数为$C_n^ra^{n-r}b^r$;而$(x+\frac{1}{x})^n$的展开式中的系数等于二项式系数。二项式系数一定为正,而项的系数不一定为正

(3)$(1+x)^n$的展开式

$$
(1+x)^n=C_n^0x^n+C_n^1x^{n-1}+C_n^2x^{n-2}+···+C_n^nx^0
$$

若令$x=1$,则有

$$
(1+1)^n=C_n^0+C_n^1+C_n^2+···+C_n^n=2^n
$$

若令$x=-1$,则有二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和。即

$$
C_n^0+C_n^2+···=C_n^1+C_n^3+···=2^{n-1}
$$

(4)二项式系数的性质

① 对称性:与首尾两端“等距离”的两个二项式系数相等,即$C_n^m=C_n^{n-m}$

② 增减性与最大值:当$r≤(n+1)/2$时,二项式系数$C_n^r$的值逐渐增大;当$r≥(n+1)/2$时,$C_n^r$的值逐渐减小,且在中间取的最大值。当$n$为偶数时,中间一项(第$n/2+1$项)的二项式系数$C_n^{n/2}$取得最大值。当$n$为奇数时,中间两项(第$(n+1)/2$和$(n+1)/2+1$项)的二项式系数$C_n^{(n-1)/2}=C_n^{(n+1)/2}$相等并同时取得最大值。

(5)系数最大项的求法

设第$r$项的系数$A_r$最大,由不等式组

$$
\left \{
\begin{array} {c}
A_r≥A_{r-1} \
A_r≥A_{r+1}
\end{array}
\right.
$$

可确定$r$

(5)赋值法

设$f(x)=(ax+b)^n=a_0+a_1x+a_2x^2+···+a_nx^n$,有

① $a_0=f(0)$
② $a_0+a_1+a_2+···+a_n=f(1)$
③ $a_0-a_1+a_2-a_3+···+(-1)^na_n=f(-1)$
④ $a_0+a_2+a_4+a_6+···=(f(1)+f(-1))/2$
⑤ $a_1+a_3+a_5+a_7+···=(f(1)-f(-1))/2$