高中数学基础:数列的极限及其准则

数列极限的定义

设$\{x_n\}$为一数列,若有常数$a$,对任意给定的正数$\varepsilon$(无论$\varepsilon$有多小),总存在正整数$N$,使当$n>N$时,不等式$|x_n-a|<\varepsilon$恒成立,则称$a$是数列$\{x_n\}$的极限或称$\{x_n\}$收敛于$a$,记为

$$
\lim \limits_{x \to ∞} x_n = a ,, 或 ,, x_n \rightarrow a , (n \rightarrow ∞)
$$

① $\varepsilon$是任意的,这样才能表示无限接近
② $N$是相应于$\varepsilon$的,只要$N$存在,而不必找其最小值

若这样的$a$不存在,则称数列$\{x_n\}$无极限或$\{x_n\}$发散$\lim \limits_{x \to ∞} x_n$不存在。

例一

已知:

$$
x_n=\frac{n+(-1)^n}{n}
$$

证明数列$\{x_n\}$的极限为1。

证:

$$
|x_n-1|=|\frac{n+(-1)^n}{n}-1|=\frac{1}{n}
$$

$\forall \varepsilon > 0$,欲使$|x_n-1|<\varepsilon$,即$\frac{1}{n}<\varepsilon$,只要$n>\frac{1}{\varepsilon}$

因此,取$N=[\frac{1}{\varepsilon}]$,当$n>N$时,就有

$$
|\frac{n+(-1)^n}{n}-1| < \varepsilon
$$

$$
\lim \limits_{x \to ∞} x_n = \lim \limits_{x \to ∞} \frac{n+(-1)^n}{n} = 1
$$

例二

证明:

$$
\lim \limits_{x \to ∞} \frac{\cos \frac{n\pi}{2}}{n} = 0
$$

分析:

$$
|x_n-0| = \frac{|\cos \frac{n\pi}{2}|}{n}
$$

$\forall \varepsilon > 0$,为使$|x_n-0|<\varepsilon$,只需要

$$
\frac{|\cos \frac{n\pi}{2}|}{n} < \varepsilon
$$

$n$无法解出,注意到

$$
\frac{|\cos \frac{n\pi}{2}|}{n} ≤ \frac{1}{n}
$$

故只需要$\frac{1}{n}<\varepsilon$,即$n>\frac{1}{\varepsilon}$

证:

$\forall \varepsilon > 0$,取$N=[\frac{1}{\varepsilon}]$,则当$n>N$时,就有

$$
|x_n-0| = \frac{|\cos \frac{n\pi}{2}|}{n} ≤ \frac{1}{n} ≤ \varepsilon
$$

从而

$$
\lim \limits_{x \to ∞} \frac{\cos \frac{n\pi}{2}}{n} = 0
$$

例三

证明:

$$
\lim \limits_{x \to ∞} \frac{(-1)^n}{(n+1)^2} = 0
$$

分析:

$$
|x_n-0| = \frac{1}{(n+1)^2}
$$

$\forall \varepsilon > 0$,为使$|x_n-0|<\varepsilon$,只需要

$$
\frac{1}{(n+1)^2} < \varepsilon
$$

$$
(n+1)^2 > \frac{1}{\varepsilon}, , n > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}-1
$$

证:

$\forall \varepsilon > 0$(不妨设$\forall \varepsilon < 1$),取$N=[\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}-1]$,则当$n>N$时,有

$$
|\frac{(-1)^n}{(n+1)^2}-0| < \varepsilon
$$

$$
\lim \limits_{x \to ∞} \frac{(-1)^n}{(n+1)^2} = 0
$$

令证:

$$
|x_n-0| = \frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}
$$

为使$|x_n-0|<\varepsilon$,只需要$\frac{1}{n}<\varepsilon$,即$n>\frac{1}{\varepsilon}$,从而取$N=[\frac{1}{\varepsilon}]$即可。

收敛数列的性质

定理一:若数列$\{x_n\}$收敛,则它的极限唯一。

证:反证法,设$x_n \rightarrow a, x_n \rightarrow b$,且$a<b$,取$\varepsilon=\frac{b-a}{2}$

则由极限定义知,对此$\varepsilon>0$

$\exists$正整数$N_1$,当$n>N_1$时,$|x_n-a|<\varepsilon$,即有$x_n < \frac{a+b}{2}$
$\exists$正整数$N_2$,当$n>N_2$时,$|x_n-b|<\varepsilon$,即有$x_n > \frac{a+b}{2}$

故取$N=max{N_1,N_2}$,当$n>N$时,有

$x_n < \frac{a+b}{2}$ 且 $x_n > \frac{a+b}{2}$。矛盾!从而假设不成立!

于是由$a,b$的大小任意性可推出$a=b$,即极限唯一。

定理二:若数列$\{x_n\}$收敛,则数列$\{x_n\}$一定有界。

证:设$\lim \limits_{x \to ∞} x_n = a$,取$\varepsilon=1$,则$\exists$正整数$N$,当$n>N$时,有$|x_n-a| < 1$,从而

$|x_n| = |(x_n-a)+a| ≤ |x_n-a| + |a| < 1+|a|$

再取 $M=max\{|x_1|,|x_2|,···,|x_N|,1+|a|\}$

则有 $|x_n| ≤ M , (n=1,2,···)$

故数列$\{x_n\}$有界。

① 若数列收敛,则数列有界
② 若数列有界,则数列不一定收敛。如数列$\{(-1)^{n+1}\}$有界但不收敛

定理三:收敛数列的保号性

若$\lim \limits_{x \to ∞} x_n = a$且$a>0(<0)$,则$\exists$正整数$N$,当$n>N$时,有$x_n>0(<0)$。

证:只证$a>0$的情况

取$\varepsilon=\frac{a}{2}$,则由极限定义知,$\exists$正整数$N$,当$n>N$时,有

$|x_n-a|<\frac{a}{2}$,即$\frac{a}{2}<x_n<\frac{3a}{2}$

因$a>0$,故$x_n>0$

推论:若$\lim \limits_{x \to ∞} x_n = a$,且$\exists$正整数$N$,当$n>N$时,$x_n≥0(≤0)$,则$a≥0(≤0)$。

夹逼准则

若$(1) , y_n ≤ x_n ≤ z_n , (n=1,2,···)$及$(2) , \lim \limits_{x \to ∞} y_n = \lim \limits_{x \to ∞} z_n = a$,则$\lim \limits_{x \to ∞} x_n = a$

证:由条件$(2)$

$\forall \varepsilon > 0,\exists N_1,N_2$

当$n>N_1$时,$|y_n-a| < \varepsilon$
当$n>N_2$时,$|z_n-a| < \varepsilon$

令$N=max\{N_1,N_2\}$,则当$n>N$时,有

$a-\varepsilon < y_n < a+\varepsilon, , a-\varepsilon < z_n < a+\varepsilon$

由条件$(1)$

$a-\varepsilon < y_n ≤ x_n ≤ z_n < a+\varepsilon, , a-\varepsilon < z_n < a+\varepsilon$

即$|x_n - a| < \varepsilon$,故$\lim \limits_{x \to ∞} x_n = a$

单调有界数列必有极限

若$x_1 ≤ x_2 ≤ ··· ≤ x_n ≤ x_{n+1} ≤ ··· ≤ M$,则$\lim \limits_{x \to ∞} x_n = a (≤ M)$
若$x_1 ≥ x_2 ≥ ··· ≥ x_n ≥ x_{n+1} ≥ ··· ≥ m$,则$\lim \limits_{x \to ∞} x_n = b (≥ m)$