高中数学基础:函数的极限及自然常数e的由来

函数的极限

1、自变量趋于有限制$x_0$时函数的极限

(1)$x \rightarrow x_0$   (2)$x \rightarrow x_0^+$  (3)$x \rightarrow x_0^-$

2、自变量趋于无穷大时函数的极限

(1)$x \rightarrow ∞$  (2)$x \rightarrow +∞$  (3)$x \rightarrow -∞$

自变量$x \rightarrow x_0$时函数极限的定义

设函数$f(x)$在点$x_0$的某一去心领域内有定义,如果存在常数$A$,对任意给定的正数$\varepsilon$(无论它有多少),总存在正数$\delta$,使得当$x$满足$0<|x-x_0|<\delta$时,对应的函数值都有$|f(x)-A|<\varepsilon$,则称$A$为函数$f(x)$当$x \rightarrow x_0$时的极限,记作$\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A$或$f(x) \rightarrow A , (x \rightarrow x_0)$

$\varepsilon - \delta$语言描述:

$\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0$,$\exists \delta > 0$,当$0 < |x-x_0| < \delta$时,$|f(x)-A| < \varepsilon$。

左极限与右极限(单侧极限)

左极限

$\lim \limits_{x \to x_0^+} f(x) = A \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0$,$\exists \delta > 0$,当$x \in (x_0-\delta,x_0)$时,$|f(x)-A| < \varepsilon$。

右极限

$\lim \limits_{x \to x_0^-} f(x) = A \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0$,$\exists \delta > 0$,当$x \in (x_0,x_0+\delta)$时,$|f(x)-A| < \varepsilon$。

左右极限相等

$\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A \Longleftrightarrow \lim \limits_{x \to x_0^+} f(x) = A , \lim \limits_{x \to x_0^-} f(x) = A$

自变量$x \rightarrow ∞$时函数极限的定义

设函数$f(x)$在当$|x|$大于某一正数时有定义,如果存在常数$A$,对任意给定的正数$\varepsilon$(无论它有多少),总存在正数$X$,使得当$x$满足$|x|>X$时,对应的函数值都有$|f(x)-A|<\varepsilon$,则称$A$为函数$f(x)$当$x \rightarrow ∞$时的极限,记作$\lim \limits_{x \to ∞} f(x) = A$或$f(x) \rightarrow A , (x \rightarrow ∞)$

$\varepsilon - X$语言描述:

$\lim \limits_{x \to ∞} f(x) = A \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0$,$\exists X > 0$,当$|x| > X$时,$|f(x)-A| < \varepsilon$。

左极限与右极限(单侧极限)

$\lim \limits_{x \to -∞} f(x) = A \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0$,$\exists X > 0$,当$x < -X$时,$|f(x)-A| < \varepsilon$。

$\lim \limits_{x \to +∞} f(x) = A \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0$,$\exists X > 0$,当$x > X$时,$|f(x)-A| < \varepsilon$。

函数极限的性质

函数极限的唯一性

定理:如果$\lim \limits_{x \to x_0} f(x)$存在,则此极限唯一。

函数极限的局部有界性

定理:若$\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A$,则存在常数$M > 0$和$\delta > 0$,使得当$0 < |x-x_0| < \delta$时,有$|f(x)| ≤ M$。

证:因$\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A$,则$\forall \varepsilon > 0$,$\exists \delta > 0$,使得

当$0 < |x-x_0| < \delta$时,有$|f(x) - A| ≤ \varepsilon$。特别地取$\varepsilon = 1$,则

$|f(x)| = |f(x) - A + A| ≤ 1 + |A|$。取$M = 1 + |A|$即可。

函数极限的局部保号性

定理:如果$\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A$,而且$A>0 , (A<0)$,那么存在常数$\delta > 0$,使得当$0 < |x-x_0| < \delta$时,$f(x)>0 , (f(x)<0)$。

证:只证$A<0$的情况,因为$\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A < 0$,取$\varepsilon = -\frac{A}{2}$,则$\exists \delta \gt 0$,当$0 < |x-x_0| < \delta$时,有

$|f(x)-A| < -\frac{A}{2}$,即$f(x) < A-\frac{A}{2}$,从而

$f(x) < \frac{A}{2} < 0$

两个重要极限

第一个重要极限

$$
\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
$$

证:当$x \in (0, \frac{\pi}{2})$时,根据内含三角形面积 < 圆扇形面积 < 外切三角形面积

$$
\frac{1}{2}·1·1·\sin x < frac{x}{2\pi}·\pi·1^2 < \frac{1}{2}·1·\tan x
$$

$$
即 \sin x < x < \tan x (0 < x < \frac{\pi}{2})
$$

$$
从而 1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$
$$

$$
显然有 \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1 (0 < |x| < \frac{\pi}{2})
$$

$$
又 \lim \limits_{x \to 0} \cos x = 1,故\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
$$

第二个重要极限

$$
\lim \limits_{x \to ∞} (1+\frac{1}{x})^x = e
$$

$$
\lim \limits_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e
$$

证明思路:

(1)首先证明数列$\{x_n\}$是单调有界数列从而极限存在,其中
$$
x_n = (1+\frac{1}{n})^n
$$
(2)其次利用两边夹准则证明
$$
\lim \limits_{x \to +∞} (1+\frac{1}{x})^x = e
$$
(3)再用变量代换法证明
$$
\lim \limits_{x \to -∞} (1+\frac{1}{x})^x = e
$$
(4)联合上面两个结论可得

数列收敛

先证:数列$\{x_n\}$收敛,其中
$$
x_n = (1+\frac{1}{n})^n
$$

第一步,证明数列$\{x_n\}$是单调增加的

$$
\begin{align}
x_n & = (1+\frac{1}{n})^n \
& = C_n^0(\frac{1}{n})^0 + C_n^1(\frac{1}{n})^1 + C_n^2(\frac{1}{n})^2 + ··· + C_n^n(\frac{1}{n})^n \
& = 1 + \frac{n}{1!}·\frac{1}{n} + \frac{n(n-1)}{2!}·\frac{1}{n^2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}·\frac{1}{n^3} + ··· + \frac{n(n-1)(n-2)···2·1}{n!}·\frac{1}{n^n} \
& = 1 + 1 + \frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n}) + \frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n}) + ··· + \frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})···(1-\frac{n-1}{n})
\end{align}
$$

同理

$$
\begin{align}
x_{n+1} &= 1 + 1 + \frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n+1}) + \frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1}) + ··· \
&+ \frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})···(1-\frac{n-1}{n+1}) \
&+ \frac{1}{(n+1)!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})···(1-\frac{n}{n+1})
\end{align}
$$

易见$x_{n+1} > x_n$,$\forall n \in N^+$

第一步,证明数列$\{x_n\}$有界

$$
x_n=1 + 1 + \frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n}) + \frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n}) + ··· + \frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})···(1-\frac{n-1}{n})
$$

从而

$$
\begin{align}
x_n &< 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ··· + \frac{1}{n!} \
&< 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + ··· + \frac{1}{2^(n-1)} \
&= 1 + \frac{1·(1-(1-\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}} \
&= 1 + 2(1-(\frac{1}{2})^n) \
&< 3
\end{align}
$$

其中我们用了不等式$2^{n-1}≤n!$ (数学归纳法)

于是,由单调增加和有界性知数列$\{x_n\}$极限存在,记

$$
\lim \limits_{n \to ∞} (1+\frac{1}{n})^n = e
$$

下证:函数极限

$$
\lim \limits_{x \to ∞} (1+\frac{1}{x})^x = e
$$

一方面,当$x>1$时,设$n≤x<n+1$,则

$$
(1+\frac{1}{n+1})^n < (1+\frac{1}{x+1})^x < (1+\frac{1}{n})^{n+1}
$$

由于

$$
\lim \limits_{x \to ∞} (1+\frac{1}{n+1})^n = \lim \limits_{x \to ∞} \frac{(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}}{1+\frac{1}{n+1}} = e
$$

$$
\lim \limits_{x \to ∞} (1+\frac{1}{n})^{n+1} = \lim \limits_{x \to ∞} (1+\frac{1}{n})^n(1+\frac{1}{n}) = e
$$

因$n \rightarrow +∞$时,$x \rightarrow +∞$,故

$$
\lim \limits_{x \to +∞} (1+\frac{1}{x})^x = e
$$

另一方面,当$x \rightarrow -∞$时,令$x=-(t+1)$,则$t \rightarrow +∞$时,从而有

\begin{align}
\lim \limits_{x \to -∞} (1+\frac{1}{x})^x & = \lim \limits_{x \to +∞} (1-\frac{1}{t+1})^{-(t+1)} \
& = \lim \limits_{x \to +∞} (\frac{t}{t+1})^{-(t+1)} \
& = \lim \limits_{x \to +∞} (1+\frac{1}{t})^{t+1} \
& = \lim \limits_{x \to +∞} (1+\frac{1}{t})^t(1+\frac{1}{t}) \
& = e
\end{align}

$$
\lim \limits_{x \to +∞} (1+\frac{1}{x})^x = \lim \limits_{x \to -∞} (1+\frac{1}{x})^x = e
$$

$$
\lim \limits_{x \to ∞} (1+\frac{1}{x})^x = e
$$

自然常数e

(1)假设某种类的单细胞生物每24小时分裂一次,在不考虑死亡与变异的情况下,那么很显然这群单细胞生物的总数量每天会增加一倍,也就是增长率为

$$
grouth = (1+100%) = 2
$$

(2)假设这种细胞每过12小时,平均会产生一半的原数量的新细胞,而且新细胞在之后的12小时也会存在分裂,那么增长率为

$$
grouth = (1+\frac{100%}{2})^2 = 2.25
$$

(3)假设每过8小时分裂一次,那么增长率为

$$
grouth = (1+\frac{100%}{3})^3 = 2.37037…
$$

(4)实际上,细胞的分裂是不间断的、连续的,时刻都会产生新细胞,而且每个新细胞都会立即和母体细胞一起进行分裂操作,那么一天24小时分裂的增长率为

$$
grouth = (1+\frac{100%}{n})^n = 2.71828…
$$

(5)因此将该值称为$e$,表示单位时间内,持续翻倍增长所能达到的极限值,公式为

$$
e = \lim \limits_{n \to ∞} (1+\frac{1}{n})^n
$$

常见计算

$$
\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{2\sin 2x}{2x} = 2
$$

$$
\lim \limits_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \frac{1}{\cos x} = 1
$$

$$
\lim \limits_{x \to ∞} (1+\frac{1}{2x})^x = \lim \limits_{x \to ∞} ((1+\frac{1}{2x})^{2x})^{\frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}
$$

$$
\lim \limits_{x \to ∞} (1-\frac{1}{x})^x = \lim \limits_{x \to ∞} ((1+\frac{1}{-x})^{-x})^{-1} = e^{-1} = \frac{1}{e}
$$