高中数学基础:函数的导数与必须掌握的导数公式

导数的定义

设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某邻域内有定义,若

$$
\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}
$$

存在,则称函数$f(x)$在点$x_0$处可导,并称此极限为$y=f(x)$在点$x_0$的导数。记作

$$
y’\left|
\right.
x=x_0 \
f’(x_0) \
\frac{dy}{dx}\left|
\right.
x=x_0 \
\frac{df(x)}{dx}\left|
\right.
x=x_0
$$

导数公式与基本求导法则

常数和基本初等函数的导数公式

$(C)’=0$ $(x^{\mu})’=\mu x^{\mu-1}$
$(\sin x)’=\cos x$ $(\cos x)’=-\sin x$
$(\tan x)’=\sec^2 x$ $(\cot x)’=-\csc^2x$
$(\sec x)’=\sec x \tan x$ $(\csc x)’=-\csc x \cot x$
$(a^x)’=a^x \operatorname{ln}a$ $(e^x)’=e^x$
$(\operatorname{log}_ax)’=\frac{1}{x\operatorname{ln}a}$ ($\operatorname{ln}x)’=\frac{1}{x}$
$(\operatorname{arcsin}x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ ($\operatorname{arccos}x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\operatorname{arctan}x)’=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ ($\operatorname{arccot}x)’=-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

函数的和、差、积、商的求导法则

设$u=u(x),,v=v(x)$都可导,则

$
(1) , (u±v)’ = u’ ± v’
$

$
(2) , (Cu)’ = Cu’
$

$
(3) , (uv)’ = u’v ± uv’
$

$
(4) , (\frac{u}{v})’ = \frac{u’v - uv’}{v^2} , (v \neq 0)
$

反函数的求导法则

如果函数$x=f(y)$在区间$I_y$内单调、可导且$f’(y) \neq 0$,则它的反函数$y=f’(x)$在区间$I_x=\{x|x=f(y), , y \in I_y\}$内也可导,且有

$$
[f^{-1}(x)]’ = \frac{1}{f’(y)} , 或 , \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}
$$

复合函数求导法则

设$y=f(u),u=\varphi(x)$,则复合函数$y=f[\varphi(x)]$的导数为

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}·\frac{du}{dx} = f’(u)·\varphi’(x)
$$

高阶导数

若函数$y=f(x)$的导数$y’=f’(x)$可导,则称$f’(x)$的导数为$f(x)$的二阶导数,记作$y’’$或$\frac{d^2y}{dx^2}$,即

$$
y’’=(y’)’ , 或 , \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})
$$

类似的,二阶导数的导数称为三阶导数,以此类推,$n-1$阶导数的导数称为$n$阶导数,分别记作

$$
\frac{d^3y}{dx^3},,\frac{d^4y}{dx^4},···,\frac{d^ny}{dx^n}
$$

$$
\frac{d^ny}{dx^n}=\frac{d}{dx}(\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}})
$$

二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。