高等数学基础:导数的应用1:单调性、凹凸性、极值与最值

函数单调性

通过函数的导数的值,可以判断出函数的单调性、驻点以及极值点:

若导数大于0,则单调递增;若导数小于0,则单调递减;导数等于0的点为函数驻点

如果函数的导函数在某一个区间内恒大于0(或恒小于0),那么函数在这一个区间单调递增(或单调递减),这种区间就叫做单调区间

函数的驻点和不可导点处有可能取得极大值或者极小值(极值可疑点);对于极值点的判断需要判断驻点附近的导函数值的符号,如果存在使得之前区间上导函数值都大于零,而之后的区间上都小于零,那么这个点就是一个极大值点,反之则是一个极小值点。

函数凹凸性

定义:设函数$f(x)$在区间$I$上连续,$\forall x_1,x_2 \in I$

若恒有

$$
f(\frac{x_1+x_2}{2}) < \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}
$$

则称$f(x)$的图形是凹的。

若恒有

$$
f(\frac{x_1+x_2}{2}) > \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}
$$

则称$f(x)$的图形是凸的。

连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。

拐点是否存在:二阶导数为0 或 二阶导数不存在,具体还要看左右两侧的凹凸性是否发生改变

定理(凹凸判定法):设函数$f(x)$在区间$I$上有二阶导数

(1) 在$I$内$f’’(x)>0$,则$f(x)$在$I$内图形是凹的;
(1) 在$I$内$f’’(x)<0$,则$f(x)$在$I$内图形是凸的;

函数的极值与最值

定义:设函数$f(x)$在$x_0$的某个邻域$U(x_0,\delta)$有定义,且当$x \in U(x_0,\delta)$时,恒有$f(x)<f(x_0)$,则称$f(x_0)$为$f(x)$的一个极大值;如果当$x \in U(x_0,\delta)$时,恒有$f(x)>f(x_0)$,则称$f(x_0)$为$f(x)$的一个极小值。函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点。

若$f(x)$在极值点$x_0$处可导,则$f’(x_0)=0$。导数等于$0$的点称为驻点,对可导函数来讲,极值点必为驻点。

极值存在的第一充分条件

设函数$f(x)$在$x_0$连续,且在$x_0$的某去心邻域$U(x_0,\delta)$内可导

(1)若当$x \in (x_0-\delta, x_0)$时,$f’(x) > 0$,当$x \in (x_0, x_0+\delta)$时,$f’(x) < 0$,则$f(x)$在$x_0$处取得极大值。
(2)若当$x \in (x_0-\delta, x_0)$时,$f’(x) < 0$,当$x \in (x_0, x_0+\delta)$时,$f’(x) > 0$,则$f(x)$在$x_0$处取得极小值。
(3)若当$x \in U(x_0, \delta)$时,$f’(x)$符号保持不变,则$f(x)$在$x_0$处无极值。

极值可疑点:一阶导数为0 或导数不存在

极值存在的第二充分条件

设函数$f(x)$在它的驻点$x_0$处二阶可导,则

若$f’’(x_0)>0$,则$x_0$为极小值点;
若$f’’(x_0)<0$,则$x_0$为极大值点;
若$f’’(x_0)=0$,则无法判断。

(1) 此法只适用于驻点,不能用于判断不可导点
(2) 当$f’’(x_0)=0$时,失效,如:$x^3$在$x=0$处

求极值的步骤

(1) 确定函数的定义域
(2) 求导数$f’(x)$
(3) 求定义域内部的极值嫌疑点(即驻点或一阶导数不存在的点)
(4) 用极值的判定第一或第二充分条件(注意第二充分条件只能判定驻点的情形)

例:求出函数$f(x)=x^3+3x^2-24x-20$的极值

解:$f’(x)=3x^2+6x-24=3(x+4)(x-2)$

令$f’(x)=0$,得驻点$x_1=-4,x_2=2$

$\because f’’(-4)=-18<0$,故极大值$f(-4)=60$;$f’’(2)=18>0$,故极小值$f(2)=-48$。

函数的最大值、最小值问题

极值是局部性的,而最值是全局性的。若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续,则$f(x)$在$[a,b]$上的最大值与最小值存在。

具体求法:

(1) 求出定义域内部的极值嫌疑点(驻点和不可导点)$x_1,x_2,···,x_k$,并算出函数值$f(x_i)(i=1,2,···,k)$
(2) 求出端点的函数值$f(a),f(b)$
(3) 最大值$M=max{f(x_1),···,f(x_k),f(a),f(b)}$,最小值$m=min{f(x_1),···,f(x_k),f(a),f(b)}$

求解技巧:

(1) 如果$f(x)$在$[a,b]$上单调,则它的最值必在端点处收到
(2) 如果$f(x)$在$[a,b]$上连续,且在$(a,b)$内可导,且有唯一驻点,则若为极小值点必为最小值点,若为极大值点必为最大值点
(3) 如果$f(x)$在$[a,b]$上有最大(小)值,且有唯一驻点,则不必判断极大还是极小,立即可以判定该驻点即为最大(小)值点

例题解析

(1)求函数$f(x)=(x-1)(x-2)^3(x-3)^3(x-4)$在$(-∞,+∞)$上的极值数

穿线法:奇穿偶不穿

当$x < 1$,$2 < x < 4$且$x \neq 3$时,$f(x) < 0$
当$1 < x < 2$,$x > 4$时,$f(x) > 0$

(2)将边长为$a$的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截使方盒的容积最大?

$V = x(a-2x)^2 , x \in (0, \frac{a}{2})$
$V’ = (2x-a)(6x-a)$
$V’’ = 24x-8a$

唯一驻点$x=\frac{a}{6}, , V’’(\frac{a}{6})=-4a<0$,取得极大值

(3)要做一个容积为V的圆柱形罐头筒,怎样设计才能使所用材料最省?

即表面积最小,设底半径为$r$,高为$h$

$V = \pi r^2h \Rightarrow h = \frac{V}{\pi r^2}$
$S = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r^2 + 2\pi r \frac{V}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}$
$S’ = 4\pi r - \frac{2V}{r^2}$
$S’’ = 4\pi + \frac{2V}{r^3}$

唯一驻点$x=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}, , V’’=12\pi>0$,取得极小值