高等数学基础:线性代数与矩阵

线性代数与矩阵

线性代数:线性代数中的基本量指的是向量,基本关系是严格的线性关系。也就是可以简单的将线性代数理解为向量与向量之间的线性关系的映射。

矩阵:描述线性代数中线性关系的参数,即矩阵是一个线性变换,可以将一些向量转换为另一些向量。

矩阵表示:数域$F$中$m \ast n$个数排成$m$行$n$列,并括以圆括弧(或方括弧)的数表示称为数域$F$上的矩阵,通常用大写字母记作$A$或者$A_{m \ast n}$,有时也记作$A=(a_{ij}){m \ast n}(i=1,2,…m;n=1,2,…n)$,其中$a{ij}$表示矩阵$A$的第$i$行和第$j$列元素。当$F$为实数域$R$时,$A$叫做实矩阵;当$F$为复数域$C$时,$A$叫做复矩阵。

$$
\begin {pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end {pmatrix}
$$

当$m=1$或$n=1$时,称$A$为行向量列向量

$$
A = \begin {pmatrix} a_{1} & a_{1} & \cdots & a_{n} \end {pmatrix} ,,或,,
A =
\begin {pmatrix}
a_{1} \
a_{2} \
\vdots \
a_{m}
\end {pmatrix}
$$

矩阵相等:对于两个矩阵$A$和$B$,当它们的行数相同,列数相同,并且对应位置上的元素都相等时,称矩阵$A$与$B$相等,记作$A=B$

同型矩阵:若两个矩阵行数与列数分别相等,则为同型矩阵

方阵:如果矩阵$A$中$m$等于$n$,那么称矩阵$A$为$n$阶矩阵(或$n$阶方阵)。从左上到右下的对角线称为主对角线,从右上到左下的对角线称为次对角线

负矩阵:对于矩阵$A$(所有元素$m \ast n$),各个元素取相反数得到的矩阵称为$A$的负矩阵,记为$-A$

上三角阵:主对角线(不含)以下的元素均为0的矩阵称为上三角阵,主对角线(不含)以上的元素均为0的矩阵称为下三角阵,

对角矩阵:既是上三角阵,又是下三角阵(对角线元素不全为0,其余元素均为0)的矩阵称为对角方阵或对角矩阵,记为$D = \operatorname{diag}\begin {pmatrix} a_{11} & a_{22} & \cdots & a_{nn} \end {pmatrix}$

矩阵的迹:对角元素的和$\sum_{i=1}^n a_{ii}$,称为方阵$A$的迹,记为$\operatorname{tr}A$

单位矩阵:$n$阶方阵中除了主对角线上的元素外,其它元素均为0,主对角线元素均为1,那么此时的$n$阶方阵叫做$n$阶单位矩阵。单位矩阵常用$E$或者$I$表示

$$
E = \begin {pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \
0 & 1 & \cdots & 0 \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
0 & 0 & \cdots & 1
\end {pmatrix}
$$

零矩阵:如果矩阵$A$中的所有元素$m \ast n$均为0,那么此时矩阵$A$叫做零矩阵,可以记为$0$

矩阵运算