高等数学基础：偏导数与方向导数

多元函数偏导数

在一个多变量的函数中，偏导数就是关于其中一个变量的导数而保持其它变量恒定不变。假定二元函数$z=f(x,y)$，点$(x_0,y_0)$是其定义域内的一个点，将$y$固定在$y_0$上，而$x$在$x_0$上增量$\Delta x$，相应的函数$z$有增量$\Delta z = f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)$。$\Delta z$和$\Delta x$的比值当$\Delta x$的值趋近于$0$的时候，如果极限存在，那么此极限值称为函数$z = f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数(partial derivative)，记作：$f'_x(x_0,y_0)$

对$x$的偏导数：

$$
\left. \frac{\partial f}{\partial x}\right|{x=x_0\y=y_0}
$$

对$y$的偏导数：

$$
\left. \frac{\partial f}{\partial y}\right|{x=x_0\y=y_0}
$$

推广：对于三元函数$u=f(x,y,z)$可类似

定义$u$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$分别对$x,y,x$的偏导数

$$
f_x(x_0,y_0,z0) = \lim \limits{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x,y_0,z_0)-f(x_0,y_0,z_0)}{\Delta x}
$$

$$
f_y(x_0,y_0,z0) = \lim \limits{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0,y_0+\Delta y,z_0)-f(x_0,y_0,z_0)}{\Delta y}
$$

$$
f_z(x_0,y_0,z0) = \lim \limits{\Delta z \to 0} \frac{f(x_0,y_0,z_0+\Delta z)-f(x_0,y_0,z_0)}{\Delta z}
$$

偏导数是多元函数对其中某一个自变量（其余自变量视为常量）的变化率。

例：求$z=x^2+3xy+y^2$在点$(1,2)$处的偏导数

$
\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 3y \,\,\,\,\,\,\,\, \frac{\partial z}{\partial y} = 3x + 2y
$

$
\left. \frac{\partial z}{\partial x}\right|{(1,2)} = 2·1+3·2 = 8 \,\,\,\,\,\,\,\, \left. \frac{\partial z}{\partial x}\right|{(1,2)} = 3·1+2·2 = 7
$

高阶偏导数

函数$z=f(x,y)$的二阶偏导数为

$$
\left.
\begin{array} {r}
\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x}) = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = f''{xx} = f''{11} \
\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial y}) = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = f''{yy} = f''{22} \
\end{array}
\right\}纯偏导
$$

$$
\left.
\begin{array} {r}
\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x}) = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f''{xy} = f''{12} \
\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial y}) = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = f''{yx} = f''{21} \
\end{array}
\right\}混合偏导
$$

类似可以定义更高阶的偏导数，例如

$z=f(x,y)$关于$x$的3阶偏导数为

$$
\frac{\partial^3 z}{\partial x^3} = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2})
$$

$z=f(x,y)$关于$x$的$n-1$阶偏导数，再关于$y$的一阶偏导数为

$$
\frac{\partial^n z}{\partial x^{n-1} \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial^{n-1} z}{\partial x^{n-1}})
$$

定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数

向量

向量的定义

向量：是指具有$n$个互相独立性质(纬度)的对象的表示，向量常使用字母+箭头的形式进行标示，也可以使用几何坐标来表示向量，比如$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{OP} = xi + yj + zk$，可以用坐标$(i,j,k)$表示向量$\overrightarrow{a}$

向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，向量坐标到原点的距离，常记作$|\overrightarrow{a}|$

单位向量：长度为一个单位（即模为1）的向量就叫做单位向量

向量的运算

设两向量为：$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1),\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$，并且$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$之间的夹角为$\theta$

数量积：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量/实数，记作$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$

$$
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos \theta
$$

$$
\cos = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|} = \frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+x_2^2} \cdot \sqrt{y_1^2+y_2^2}}
$$

向量积：两个向量的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作$\overrightarrow{a} × \overrightarrow{b}$，向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量

$$
\overrightarrow{a} × \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \sin \theta
$$

$$
S = \frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta
$$

正交向量

如果两个向量的点积为零，那么称这两个向量互为正交向量。在几何意义上来讲，正交向量在二维/三维空间上其实就是两个向量垂直。

如果两个或多个向量，它们的点积均为0，那么它们互相称为正交向量。

方向导数

定义：若函数$f(x,y,z)$在点$P(x,y,z)$处沿方向$l$(方向角为$\alpha,\beta,\gamma$)存在下列极限

$$
\lim \limits{\rho \to 0} \frac{\Delta f}{\rho} = \lim \limits{\rho \to 0} \frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)-f(x,y,z)}{\rho} = \frac{\partial f}{\partial l}
$$

其中$\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}$，$\Delta x = \rho \cos \alpha,\Delta y = \rho \cos \beta,\Delta z = \rho \cos \gamma$，方向角$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$

则称$\frac{\partial f}{\partial l}$为函数在点$P$处沿方向$l$的方向导数。